Habt ihr euch jemals gefragt, was Relationen, Abbildungen und Operationen in der Mathematik sind? In diesem Artikel werde ich euch einen Einblick in diese Konzepte geben und erklären, wie sie zusammenhängen.
Relationen
Eine Relation ist einfach ausgedrückt eine Beziehung zwischen zwei Elementen einer Menge. Besonders wichtig sind dabei zweistellige Relationen, also Teilmengen von Paaren. Um es mathematisch auszudrücken: Wenn ein geordnetes Paar (a, b) in einer Relation steht, dann sagen wir, dass a und b zueinander in Beziehung stehen.
Reflexivität, Symmetrie und Transitivität
Es gibt drei Eigenschaften, anhand derer wir Relationen unterscheiden können: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
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Reflexivität: Eine Relation in einer Menge ist reflexiv, wenn jedes Element dieser Menge in Beziehung zu sich selbst steht. Zum Beispiel ist die “Kleiner/Gleich”-Relation für die Menge der reellen Zahlen reflexiv, da für alle a gilt: a ≤ a.
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Symmetrie: Eine Relation ist symmetrisch, wenn aus dem Zutreffen von (a, b) auch das Zutreffen von (b, a) folgt. Zum Beispiel ist die Relation “steht senkrecht auf” für alle Geraden symmetrisch.
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Transitivität: Eine Relation ist transitiv, wenn aus dem Zutreffen von (a, b) und (b, c) auch das Zutreffen von (a, c) folgt. Ein Beispiel dafür ist die “Kleiner”-Relation für reelle Zahlen.
Ordnungs- und Äquivalenzrelationen
Zwei wichtige Relationstypen sind Ordnungsrelationen und Äquivalenzrelationen.
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Ordnungsrelationen sind transitiv und unterscheiden sich in ihren weiteren Eigenschaften. Ein Beispiel dafür ist die “Kleiner/Gleich”-Relation für reelle Zahlen. Sie ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und linear.
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Äquivalenzrelationen sind reflexiv, symmetrisch und transitiv. Ein Beispiel dafür ist die Gleichheit zweier reeller Zahlen.
Äquivalenzrelationen zerlegen eine Menge in verschiedene Äquivalenzklassen. Jedes Element einer Klasse steht in Beziehung zu allen anderen Elementen derselben Klasse. Diese Klassen spielen bei mathematischen Abstraktionsprozessen eine wichtige Rolle, da Elemente einer Klasse als identisch betrachtet werden.
Ich hoffe, dieser Artikel hat euch geholfen, ein besseres Verständnis für Relationen, Abbildungen und Operationen zu bekommen. Sie sind grundlegende Konzepte in der Mathematik und haben Anwendungen in verschiedenen Bereichen.
