Zufallsexperimente mit Würfeln gehören zum Unterrichtsstoff der Sekundarstufe I. Im “Mathematik 1” Lehrmittel in Zürich werden die Untersuchungen jedoch auf 2 Würfel beschränkt. Der Lehrplan spricht nur vage von mehrstufigen Zufallsexperimenten mit Würfeln, Münzen und Zahlen. In diesem Artikel zeigen wir, wie die Thematik auch auf der Sekundarstufe I erweitert und somit ein erweiterter Blick in die Welt der Mathematik ermöglicht werden kann.
Würfeln mit einem Würfel
Den meisten Schülerinnen und Schülern ist klar, dass beim Würfeln mit einem Würfel die Augensummen 1 bis 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.
Würfeln mit zwei Würfeln
Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Augensumme beim Würfeln kann einfach erarbeitet werden, indem alle Möglichkeiten in einer zweidimensionalen Tabelle aufgezeichnet werden.
Es bietet sich hierbei an, nicht nur die Schreibweise für Wahrscheinlichkeiten einzuführen, sondern auch darüber nachzudenken, welche Kombinationen von Augensummen für ein faires Spiel verwendet werden können.
Würfeln mit drei Würfeln
Nachdem wir die Augensummen bei einem Würfel (1D) und bei zwei Würfeln (2D) betrachtet haben, ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Augensummen beim Würfeln mit drei Würfeln zunächst eine Herausforderung. Hier lohnt es sich, mit den Schülern zu diskutieren, wie die verschiedenen Ebenen des Würfels auf Papier dargestellt werden können. Dies führt zu einer systematischen Notation in einer Tabelle, die grundsätzlich für eine beliebige Anzahl von Würfeln funktioniert.
Das systematische Notieren aller 216 Möglichkeiten ist ziemlich aufwändig, daher hat sich ein arbeitsteiliges Verfahren beim Auszählen bewährt. Außerdem erkennen die meisten Schülerinnen und Schüler, dass auch hier wieder eine Symmetrie der Wahrscheinlichkeiten der Augensummen auftritt. Einige Schülerinnen und Schüler versuchen den Arbeitsaufwand weiter zu reduzieren, indem sie theoretische Überlegungen über das Verhalten der verschiedenen Augensummen anstellen. In einem solchen Fall ist es hilfreich, ihnen darauf hinzuweisen, dass insgesamt 216 unterschiedliche Fälle auftreten können, die sich dann in den verschiedenen Augensummen bündeln.
Würfeln mit vier Würfeln
Nach der Arbeit mit drei Würfeln führt die Erwähnung einer Untersuchung mit vier Würfeln oft zu wenig Begeisterung, da der Aufwand im Vergleich zuvor sechsmal höher ist. An dieser Stelle ist es sinnvoll, bei der Lösungssuche einen Strategiewechsel vorzunehmen und gegebenenfalls von Papier zu einem Computer und einer Tabellenkalkulation zu wechseln.
Um von einem Würfel auf zwei Würfel zu kommen, werden einfach die bereits vorhandenen Häufigkeiten verschoben und aufsummiert. Dadurch ergeben sich tatsächlich die Häufigkeiten für das Würfeln mit zwei Würfeln.
Ein genauerer Blick zeigt, wie die einzelnen Resultate zustande kommen. Bei zwei Würfeln gibt es genau eine Möglichkeit, die Augensumme 2 zu erzielen, nämlich wenn beide Würfel eine 1 zeigen. Die Augensumme 3 hingegen kann auf zwei Arten erzielt werden: 1+2 und 2+1.
Die gleichen Überlegungen können auch beim Übergang von zwei auf drei Würfel angewendet werden. Zum Beispiel kann die Augensumme 5 aus den folgenden Kombinationen entstehen:
- (1, 1)+3, (1, 2)+2, (1, 3)+1 (drei Möglichkeiten)
- sowie (2, 1)+2 und (2, 2)+1 (zwei Möglichkeiten)
- und schließlich (3, 1)+1 (eine Möglichkeit).
Dieses Vorgehen kann für alle Augensummen und beliebige Anzahl von Würfeln angewendet werden. Die neuen Augensummen können immer durch das “verschobene” Addieren der alten Häufigkeiten gewonnen werden.
Würfeln mit vielen Würfeln
Wie bereits beim Übergang von drei auf vier Würfeln kann die beschriebene Methode für beliebige Anzahl von Würfeln verwendet werden. Dabei steigt der Arbeitsaufwand zwar weiter an, jedoch nicht so schnell wie beim Aufnotieren aller Fälle.
Deshalb ist es sinnvoll, einen Computer entsprechend zu programmieren. In Snap! gibt es mit den entsprechenden Listenfunktionen eine elegantere Lösung. Dabei werden die “verschobenen” Häufigkeitswerte jeweils sechsmal addiert. Der genaue Umfang der Liste spielt keine Rolle.
Zuerst wird die Liste “augensumme” mit den Häufigkeitswerten für einen Würfel festgelegt. Dann wird die Anzahl der Würfel eingegeben und das Programm berechnet die Häufigkeitswerte für den nächsten Würfel durch wiederholtes Ausführen der “verschobenen” Addition der bisherigen Werte.
Wenn der Block “set augensumme” aus der Schleife herausgenommen wird, können die Schülerinnen und Schüler diesen wiederholt aufrufen und die dadurch entstehenden Listenwerte im Detail untersuchen. Die Augensummen beim Würfeln mit vielen Würfeln können anschließend auch grafisch dargestellt werden, was eine weitere Betrachtung des Problems ermöglicht.
Das Beispiel zeigt, dass es möglich ist, innerhalb eines vertretbaren Zeitrahmens (ca. 3 Lektionen) nicht nur den Bogen von einem spezifischen Problem zu einer allgemeineren Problemlösung zu schlagen. Durch unterschiedliche Repräsentationen können gezielt mathematische Vorgehensweisen angewendet werden, die über das reine Hantieren mit Zahlen hinausgehen. Darüber hinaus legt dies die Grundlage zur Erarbeitung weiterer mathematischer Konzepte. Der Einsatz von Computern ist dabei nicht zwingend notwendig, erleichtert jedoch die Konzentration auf die wesentlichen Aspekte der Problemstellung durch die Automatisierung der Rechenoperationen.
Quelle: hemaci3982.x10.mx
