Eine Funktion kann je nach Zuordnung zwischen den Elementen der Definitions- und der Wertemenge bijektiv, injektiv oder surjektiv sein.
Bijektivität
Eine Funktion ist bijektiv oder “umkehrbar eindeutig”, wenn jedem Element x der Definitionsmenge Df eindeutig ein Element y der Wertemenge Wf zugeordnet wird und umgekehrt. Das bedeutet, dass die Zuordnung von Wertepaaren in beide Richtungen eindeutig ist. Bijektive Funktionen sind sowohl injektiv als auch surjektiv.
Um zu zeigen, dass eine Funktion bijektiv ist und eine Umkehrfunktion besitzt, muss entweder gezeigt werden, dass sie streng monoton steigend ist (f'(x) > 0) oder dass sie streng monoton fallend ist (f'(x) < 0).
Umkehrfunktion
Eine bijektive Funktion ist immer invertierbar, sie besitzt also eine Umkehrfunktion. Eine Funktion f hat genau dann eine Umkehrfunktion f-1, wenn sie streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Der Graph der Umkehrfunktion f-1 entsteht durch Spiegelung des Funktionsgraphen f entlang der 1. Mediane.
Reziproke Funktion
Die reziproke Funktion einer Funktion f wird als g(x) = 1/f(x) definiert. Achtung: Die reziproke Funktion ist nicht gleich der Umkehrfunktion.
Injektivität
Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Wertemenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge höchstens von einem (oder keinem) Element aus der Definitionsmenge getroffen wird.
Surjektivität
Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Wertmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge mindestens von einem (oder mehreren) Element(en) aus der Definitionsmenge getroffen wird.
