Wenn du Brüche addieren möchtest, kann dir das Teilen und Malnehmen dabei helfen, geschickt zu rechnen. Aber die Addition von Brüchen funktioniert ein bisschen anders. Du musst die Bruchzahlen oft erst erweitern oder kürzen, indem du die Zähler und Nenner teilst oder multiplizierst. Wenn du dabei Unterstützung benötigst, zeigen wir dir in unserer Mathe Nachhilfe alle wichtigen Regeln.
Wann muss man Brüche addieren?
Du musst immer dann Brüche addieren, wenn du Anteile zusammenfassen möchtest. Stell dir vor, du möchtest eine Fruchtsaftmischung aus zwei verschiedenen Säften herstellen. Du nimmst Liter Bananensaft und Liter Kirschsaft, um einen Kirsch-Bananen-Saft zu mixen. Wenn du den Saft anschließend mit deinen Freunden teilen möchtest, musst du wissen, wie viel Liter Saft du insgesamt hast. Auf der Abbildung siehst du, wie man die beiden Anteile an Kirsch- und Bananensaft addieren kann.
Da Liter genau 1 Liter sind, reichen unsere Liter für drei Gläser Saft aus.
Addieren von Brüchen mithilfe der Streifentafel
Bevor wir nun mit dem Addieren von Brüchen starten, möchte ich dir noch eine Darstellung mit Streifenbildern zeigen. Erfahrungsgemäß helfen Streifentafeln Schülern dabei, die Bruchteile zusammenzufassen und den Rechenweg besser zu verstehen. Ein weiteres Beispiel mit einer Darstellung in Streifenbildern kannst du dir außerdem in einer Veröffentlichung der Universität Dortmund anschauen.
Bei unserem Beispiel erhalten wir beim Zusammenfügen von Liter Bananensaft und Liter Kirschsaft letztendlich Liter Saftschorle. Auch diese Menge reicht für 3 Freunde, da 8/8 Liter genau 1 Liter wäre.
Gleichnamige Brüche addieren
Bestimmt hast du bereits eine Rechenregel erkannt, wenn du unsere Beispiele mit dem Kirsch-Bananen-Saft betrachtest. Denn bei diesen Bruchzahlen haben wir den gleichen Nenner, nämlich 5. Da wir sogenannte “gleichnamige Brüche” hatten, konnten wir die Zähler sofort zusammenzählen. Hierfür haben wir einfach die beiden Zähler 1 und 3 addiert und den Nenner 5 beibehalten.
Auch bei unserem zweiten Beispiel sind wir so vorgegangen, da wir auch hier zwei gleichnamige Brüche hatten. Beide Bruchzahlen haben den gemeinsamen Nenner 8. Daher können wir die Zähler 3 und 4 einfach addieren und erhalten somit 7/8.
Bei ungleichnamigen Brüchen musst du jedoch vorsichtig sein, denn hier kannst du diese Regeln nicht sofort anwenden. Ungleichnamige Brüche haben unterschiedliche Nenner, zum Beispiel 1/3 und 1/7. Wie du in diesem Fall vorgehen kannst, erkläre ich dir anschließend genauer.
Rechengesetze
Wenn du Brüche addieren möchtest, kannst du in bestimmten Fällen das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) und das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) zu Hilfe nehmen.
Das Kommutativgesetz besagt, dass der Wert einer Summe sich nicht ändert, wenn die Reihenfolge der Summanden vertauscht wird. Das bedeutet, dass 1 + 3 = 4 ist und 3 + 1 = 4. Dieses Gesetz gilt auch für die Bruchrechnung.
Das Assoziativgesetz besagt, dass man die Summanden einer Summe zusammenfassen darf, wie man möchte. Deswegen ist sowohl 1 + 2 + 4 = 7, als auch (1 + 2) + 4 = 7.
Addition von Brüchen – Bruchzahlen gleichnamig machen
Dir ist bestimmt aufgefallen, dass wir bisher nur mit gleichnamigen Brüchen gerechnet haben. Außerdem hatte ich dich bereits gewarnt, dass unsere Rechenregel nur für die gleichnamigen, aber nicht für die ungleichnamigen Brüche gilt. Daher wollen wir uns nun anschauen, wie man zwei ungleichnamige Brüche in zwei gleichnamige Brüche umwandeln und dann addieren kann.
Deshalb müssen wir uns zuerst mit dem Kürzen und Erweitern sowie dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) und dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) beschäftigen. Denn das Gleichnamigmachen und das Wissen über das kgV sind wichtige Voraussetzungen für das Addieren von Brüchen. Vereinfacht ausgedrückt, suchen wir den gemeinsamen Nenner der beiden Brüche, d.h. wir schauen, welche Zahlen die Nenner gemeinsam haben.
Gemeinsamen Nenner finden und Bruch addieren
Um die Brüche gleichnamig zu machen, musst du den gemeinsamen Nenner der beiden Bruchzahlen finden. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der einzelnen Nenner, also die kleinste Zahl, die sowohl ein Vielfaches von 3 als auch von 5 ist. Angenommen, wir haben 1/3 und 1/5, dann ist 15 der Hauptnenner der beiden Nenner 5 und 3. Um sie gleichnamig zu machen, musst du sie also auf den Nenner 15 erweitern.
Hauptnenner durch Erweitern bilden
Nachdem du den Hauptnenner ermittelt hast, machen wir die beiden Brüche durch Erweitern gleichnamig. Dabei nimmst du den Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl mal. Du hast herausgefunden, dass 15 der Hauptnenner von 1/5 und 1/3 ist. Nun musst du überlegen, wie oft du den Zähler 5 von 1/5 malnehmen musst, um anschließend 15 zu erhalten. Das ist ganz einfach: 3-mal. Dann überlegst du, wie oft du den Nenner 3 von 1/3 malnehmen musst, um 15 zu erhalten. Das ist auch nicht schwer, nämlich 5-mal. Demzufolge müssen wir mit 3 erweitern und 1/3 mit 5. Dafür nehmen wir sowohl Zähler als auch Nenner mit der gleichen Zahl mal.
Nun kannst du die beiden erweiterten Brüche miteinander addieren, denn sie haben den Hauptnenner 15.
Gemeinsamen Nenner ermitteln und Brüche plus rechnen
Bisher hast du gelernt, wie man den gemeinsamen Nenner durch das kleinste gemeinsame Vielfache ermittelt. Anschließend hast du den Hauptnenner durch Erweitern gebildet. Du kannst aber auch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei Zahlen ermitteln – also die größte Zahl, durch die sich beide Zahlen ohne Rest teilen lassen. Nehmen wir an, dass wir mit 1/15 und 2/35 rechnen wollen, dann ist 5 der Hauptnenner der beiden Nenner 15 und 35. Um die beiden Brüche gleichnamig zu machen, musst du sie also auf den Nenner 5 kürzen.
Hauptnenner durch Kürzen bilden
Da wir jetzt wissen, wie man den größten gemeinsamen Teiler ermittelt, machen wir die beiden Bruchzahlen durch Kürzen gleichnamig, indem wir den Hauptnenner bilden. Das geht aber nur dann, wenn man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilen kann.
Bei diesem Beispiel konnten wir wunderbar kürzen, um somit anschließend geschickt zu rechnen. Leider ist das nicht immer möglich. Deshalb zeige ich dir nun ein Beispiel, das ungerade Zahlen enthält und bei dem es nicht möglich ist, obwohl der Hauptnenner auch 5 wäre.
Um beide Brüche auf den Hauptnenner 5 zu bringen, müsstest du sowohl den Nenner 5 als auch den Zähler 15 von 1/15 durch 3 teilen. Das funktioniert nur für den Nenner 15, nicht aber für den Zähler 1. Ebenso müsstest du bei Zähler und Nenner durch die 7 teilen. Das geht aber nicht.
Unser Hauptnenner ist 4 und wir müssen nur den zweiten Bruch mit 5 kürzen, um den gemeinsamen Nenner zu bilden.
Ungleichnamige Brüche addieren
Obwohl du nun weißt, wie man den Hauptnenner durch Kürzen oder Erweitern ermitteln kann, wollen wir noch ein Beispiel betrachten.
Hier ist unser Hauptnenner 14. Wir bilden ihn durch Erweitern. Der gemeinsame Nenner kann jedoch nicht 7 sein, weil vom zweiten Bruch nur der Nenner 14 durch 2 teilbar ist. Der Zähler 1 kann nicht durch 2 geteilt werden. Deswegen müssen wir den ersten Bruch mit 2 erweitern, um den Hauptnenner zu bilden. Anschließend kannst du wie gewohnt weiterrechnen.
Brüche mit ganzen Zahlen addieren
Nachdem du bereits weißt, wie man gemischte Brüche addieren kann, ist das Rechnen mit ganzen Zahlen sehr leicht. Wenn du Brüche mit ganzen Zahlen addieren möchtest, kannst du dir das Plus einfach wegdenken und das Ergebnis direkt als gemischten Bruch angeben. Bei einem gemischten Bruch steht vor der Bruchzahl eine ganze Zahl.
Hierbei ist es unwichtig, ob die ganze Zahl hinter oder vor dem Pluszeichen steht. Du kannst auch ganz einfach einen gemischten Bruch mit einer ganzen Zahl addieren. Du siehst hier, wie du die ganze Zahl des gemischten Bruchs einfach mit der anderen gemischten Zahl zusammenzählen kannst.
Dezimalbruch addieren
Wenn du schriftliches Addieren beherrscht, ist die Addition mit Dezimalbrüchen nicht schwierig. Beim Rechnen mit Dezimalzahlen ist es jedoch besonders wichtig, dass alle Stellen vor und hinter dem Komma korrekt untereinander stehen.
Wenn du einen Dezimalbruch addieren möchtest, gehst du wie bei der normalen Addition vor und schreibst deine Zahlen untereinander. Allerdings denkst du dir bei den Kommazahlen das Komma weg und rechnest wie gewohnt von rechts nach links.
Nachdem du das Ergebnis berechnet hast, zählst du die Kommastellen ab und schreibst das Komma an die richtige Stelle.
Gemischte Brüche addieren
Nun zeige ich dir noch, wie man gemischte Brüche addieren kann. Danach solltest das Addieren von Brüchen aller Art kein Problem mehr für dich sein. Im Grunde genommen wenden wir die gleichen Regeln wie bisher an. Jedoch müssen wir den gemischten Bruch zunächst in einen unechten Bruch umwandeln.
So addierst du gemischte Brüche:
- Wandle den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um.
- Ermittle den gemeinsamen Nenner (Hauptnenner).
- Erweitere oder kürze entsprechend, um den Hauptnenner zu bilden.
- Nun kannst du die beiden Zahlen miteinander addieren.
Übersicht zur Addition von Brüchen
Nun weißt du, wie man ganz unterschiedliche Brüche addieren kann. Damit du anschließend alle Additions-Verfahren bei der Bruchrechnung im Überblick behältst, haben wir hier eine übersichtliche Tabelle für dich:
| Art | Beispiel | Bemerkung |
|---|---|---|
| Gleichnamige Brüche | 1/5 + 3/5 | Zähler einfach zusammenzählen |
| Ungleichnamige Brüche | 1/3 + 1/7 | Hauptnenner durch Kürzen oder Erweitern bilden |
| Brüche mit ganzen Zahlen | 2 + 3/4 | Ganze Zahl mit dem Bruch addieren |
| Dezimalbruch addieren | 2,75 + 1,5 | Stellen vor und hinter dem Komma addieren |
| Gemischte Brüche | 1 1/2 + 2 3/4 | Zuerst in unechte Brüche umwandeln, dann addieren |
Übungsaufgaben zur Wiederholung
Jetzt hast du viel über das Addieren von Brüchen gelernt und kannst dein Können ausprobieren. Damit du fleißig üben kannst, haben wir dir ein paar Übungsaufgaben mit Lösungen bereitgestellt. Viel Spaß beim Lösen! Wenn du weitere Fragen hast, helfen wir dir gerne in unserer Hausaufgabenbetreuung weiter.
