Kennst du die Quotientenregel zum Ableiten von Brüchen? Sie ist zwar kompliziert, aber nicht immer notwendig. Oftmals kannst du durch geschicktes Umformen die Potenzregel, die Kettenregel oder manchmal sogar die Produkt- und Kettenregel verwenden. In diesem Artikel zeige ich dir, wie du Brüche ohne die Quotientenregel ableiten kannst.
Brüche mit der Potenzregel ableiten
Wenn der Nenner eines Bruchs nur eine Potenz von x enthält, die mit einem Faktor multipliziert werden kann, kannst du den Bruch allein mit der Potenzregel ableiten. Hier ein Beispiel:
Beispiel 1: $f(x)=frac{2}{x}-frac{3}{4x^2}$
Du kannst die Terme umformen, indem du x mit dem entsprechenden negativen Exponenten in den Zähler bringst. Dabei gilt: Nur die Potenz wird nach oben geholt, nicht aber der zusätzliche Faktor.
$f(x)=2x^{-1}-frac{3}{4}x^{-2}$
Jetzt wenden wir die Potenzregel an:
$f'(x)=2cdot (-1)x^{-2}-frac{3}{4}cdot (-2)x^{-3}=-2x^{-2}+frac{3}{2}x^{-3}$
Manchmal ist es sinnvoll, die Ableitungsfunktion wieder mit positiven Exponenten anzugeben:
$f'(x)=-frac{2}{x^2}+frac{3}{2x^3}$
Brüche mit der Kettenregel ableiten
Ein Bruch kann allein mit der Kettenregel abgeleitet werden, wenn der Zähler nur eine Konstante enthält, also einen Term, der nicht von der Variablen abhängt. Hier ein Beispiel:
Beispiel 3: $f(x)=frac{4}{(3-x)^2}$
Ähnlich wie zuvor holen wir die Potenz im Nenner in den Zähler, indem wir das Vorzeichen des Exponenten umkehren:
$f(x) = 4cdot (3 – x)^{-2}$
Da die 4 ein konstanter Faktor ist, reicht allein die Kettenregel aus, um diese Funktion abzuleiten. Die innere Ableitung beträgt -1.
$f'(x) = 4cdot (-2)cdot (3 – x)^{-3}cdot (-1) = 8(3 – x)^{-3}$
Auch die zweite Ableitung kann allein mit der Kettenregel erfolgen:
$f”(x) = 8cdot (-3)cdot (3 – x)^{-4} = -24(3 – x)^{-4}$
Brüche mit der Produkt- und Kettenregel ableiten
Es gibt Situationen, in denen du die Quotientenregel durch die Produkt- und Kettenregel ersetzen kannst. Dies kann zum Beispiel dann der Fall sein, wenn der neue Funktionsterm einfacher abzuleiten ist oder wenn du mit der Quotientenregel nicht zurechtkommst. Hier ein Beispiel:
Beispiel 5: $f(x)=frac{x^2-3}{(4x+2)^2}$
Da die Kettenregel beteiligt ist, leiten wir die Faktoren zunächst einzeln ab:
$u(x)=x^2-3$ –> $u'(x)=2x$
$v(x)=(4x+2)^{-2}$ –> $v'(x)=-2(4x+2)^{-3}cdot 4$
Die Ableitungsfunktion lautet dann:
$f'(x) = 2xcdot (4x + 2)^{-2}+(x^2-3)cdot (-2)(4x + 2)^{-3}cdot 4$
Wir beseitigen die negativen Exponenten:
$f'(x) = frac{2x}{(4x + 2)^{2}}+frac{(x^2-3)cdot (-8)}{(4x + 2)^{3}}$
Um die Funktion als Bruch darzustellen, müssen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Der Hauptnenner ist $(4x + 2)^3$. Wir erweitern also den ersten Bruch mit $4x + 2$:
$f'(x) = frac{2xcdot (4x+2)}{(4x + 2)^{3}}+frac{(x^2-3)cdot (-8)}{(4x + 2)^{3}}$
Nun lösen wir die Klammern im Zähler auf und fassen zusammen:
$f'(x) = frac{8x^2+4x-8x^2+24}{(4x + 2)^{3}} = frac{4x+24}{(4x + 2)^{3}}$
Mit diesem Weg umgehen wir die Quotientenregel und müssen nur die Summanden auf den Hauptnenner bringen.
In diesem Artikel habe ich dir gezeigt, wie du Brüche ohne die Quotientenregel ableiten kannst. Das Umformen der Funktionen ermöglicht es dir, die Potenzregel, die Kettenregel oder manchmal sogar die Produkt- und Kettenregel zu verwenden. Probiere es aus und werde zum Meister des Ableitens!
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015
