Ein Zufallsexperiment kann unter identischen Bedingungen zu verschiedenen, nicht vorhersehbaren Ergebnissen führen. Diese Ergebnisse bilden die Ereignismenge oder auch den Ergebnisraum. In diesem Artikel werden wir uns mit den verschiedenen Arten von Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten befassen.
Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen, die unabhängig voneinander auftreten. Die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis ist gleich. Beispiele für solche Experimente sind das Werfen eines Würfels oder das Ziehen einer Münze.
Ergebnismenge (Omega)
Die Ergebnismenge ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Beim Würfeln beispielsweise ist die Ergebnismenge {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Beim Münzwurf ist die Ergebnismenge {Kopf, Zahl}. Je nach Experiment können die Ergebnisse unterschiedlich sein, aber die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse.
Ereignismenge (P(Omega))
Die Ereignismenge ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Sie besteht aus den Ergebnissen, die für ein bestimmtes Ereignis relevant sind. Beispielsweise könnten wir uns nur für die geraden Augenzahlen beim Würfeln interessieren. In diesem Fall wäre die Ereignismenge {2, 4, 6}.
Elementarereignis
Ein Elementarereignis ist ein einzelnes Ergebnis eines Zufallsexperiments. Beim Würfeln umfasst die Ergebnismenge (Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) genau 6 Elementarereignisse: 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen.
Gegenereignis
Das Gegenereignis tritt ein, wenn das Ereignis selbst nicht eintritt. Die Elemente des Ereignisses und seines Gegenereignisses zusammen bilden die Ergebnismenge. Die Verneinung eines Ereignisses wird durch das Gegenereignis dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und seines Gegenereignisses ergibt immer 1.
Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Ereignisses ist. Bei wiederholten Zufallsexperimenten kann man eine Aussage darüber machen, wie häufig ein bestimmtes Ereignis im Vergleich zu anderen Ereignissen eintritt. Die Wahrscheinlichkeit leitet sich aus der Häufigkeit eines bestimmten Elementarereignisses ab.
Gegenwahrscheinlichkeit
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis nicht eintritt. Oft ist es einfacher, die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen und daraus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst abzuleiten.
Bernoulli Experiment
Ein Bernoulli Experiment hat genau zwei mögliche Ergebnisse, zum Beispiel einen Treffer oder eine Niete. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis muss jedoch nicht zwingend 50:50 sein. Die Laplace Wahrscheinlichkeit, bei der man die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle teilt, gilt auch für Bernoulli Experimente.
Laplace Experiment
Ein Laplace Experiment hat n mögliche Ergebnisse, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Ein Beispiel dafür ist das Werfen eines Würfels, bei dem es 6 mögliche Elementarereignisse gibt, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Die Laplace Wahrscheinlichkeit gibt den relativen Anteil der “günstigen” Versuchsausgänge zu den “möglichen” Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt.
Jetzt kennst du das Geheimnis der Ereignismenge und die verschiedenen Arten von Wahrscheinlichkeiten. Viel Spaß beim Anwenden dieses Wissens in deinen eigenen Experimenten!
