Die Van-der-Waals-Gleichung ist eine angenäherte Zustandsgleichung für reale Gase. Sie wurde 1873 von Johannes Diderik van der Waals aufgestellt und erhielt dafür 1910 den Nobelpreis für Physik.
Beschreibung
Die Van-der-Waals-Gleichung kann wie folgt formuliert werden:
$ p={frac {RT}{v-b}}-{frac {a}{v^{2}}} $
oder alternativ:
$ RT=left(p+{frac {a}{v^{2}}}right)left(v-bright) $
Die einzelnen Formelzeichen stehen für verschiedene Größen, wie das molare Volumen v, die Temperatur T, den Druck p, die universelle Gaskonstante R sowie den Kohäsionsdruck a und das Kovolumen b.
Ursachen und Herleitung
Reale Gase verhalten sich nicht exakt nach dem Modell des idealen Gases, da sie aus Molekülen mit einer Ausdehnung größer als null bestehen. Das Modell des idealen Gases ignoriert, dass reale Gasteilchen ein Eigenvolumen besitzen und dass es zwischen ihnen Wechselwirkungen gibt. Die Van-der-Waals-Gleichung berücksichtigt diese Wechselwirkungen und liefert eine genauere Beschreibung für reale Gase.
Isothermen des p-V-Diagramms
Im p-V-Diagramm zeigt die Van-der-Waals-Gleichung eine verschobene Hyperbel sowie eine Funktion, die proportional zu $ 1/V^{2} $ ist. Bei niedrigen Drücken und hohen Temperaturen entspricht die Van-der-Waals-Gleichung der Gleichung für ideale Gase. Unterhalb einer kritischen Temperatur treten jedoch ein Minimum und ein Maximum auf, was als Van-der-Waals-Schleifen bezeichnet wird. Diese Zustände sind jedoch instabil und werden physikalisch nicht realisiert.
Abschätzung der kritischen Größen
Der kritische Punkt spielt eine wichtige Rolle für reale Gase. Aus der Van-der-Waals-Gleichung lassen sich folgende Zusammenhänge ableiten:
Kritische Temperatur:
$ T_{c}={frac {8a}{27bR}} $
Kritischer Druck:
$ p_{c}={frac {a}{27b^{2}}} $
Kritisches Molvolumen:
$ V_{m,c}=3b $
Die kritischen Größen können zur Berechnung der Konstanten a und b verwendet werden.
Reduzierte Form
Die Van-der-Waals-Gleichung kann auch in dimensionsloser Form dargestellt werden. Hierbei werden reduzierte Größen verwendet, um eine Gleichung 3. Grades für das reduzierte Volumen zu erhalten.
Innere Energie
Für ein Van-der-Waals-Gas ohne innere Freiheitsgrade gilt eine kalorische Zustandsgleichung, die auch die potentielle Energie der Kohäsionskräfte berücksichtigt.
Die Van-der-Waals-Gleichung ist eine wichtige Näherung für reale Gase, obwohl sie für manche Anwendungen zu ungenau ist. Es gibt weiterentwickelte Gleichungen, die genauer beschreiben können.
Quelle:
- Johannes Diderik van der Waals: “Die Kontinuität des gasförmigen und flüssigen Zustandes”
- James Clerk Maxwell: “On The dynamical evidence of the molecular constitution of bodies”
- Peter W. Atkins: “Physikalische Chemie”
