Drei Punkte können oft eine Parabel festlegen, aber nicht immer. In diesem Artikel lernen Sie, wie Sie die Gleichung ermitteln und feststellen können, ob die Punkte tatsächlich eine Parabel bilden.
Anschauung
Verschieben Sie die roten Punkte und beobachten Sie, wie sich die Parameterwerte ändern. Was passiert, wenn zwei Punkte die gleiche x-Koordinate haben? Legen Sie die Punkte auch auf eine Gerade.
Wenn zwei verschiedene Punkte die gleiche x-Koordinate haben, kann keine Funktion definiert werden. Eine Funktion darf nämlich einem x-Wert nicht mehrere y-Werte zuordnen.
Berechnen der Funktionsgleichung
Für die folgenden Beispiele gehe ich davon aus, dass Sie das Additions- und Subtraktionsverfahren für lineare Gleichungssysteme kennen. Falls Sie das Gauß-Verfahren kennen, können Sie dieses ebenfalls verwenden.
Beispiel 1: Eine Parabel geht durch die Punkte A(-1|1), B(3|-1) und C(5|7). Gesucht ist die Funktionsgleichung.
Lösung: Wenn drei Punkte ohne besondere Eigenschaften gegeben sind, verwenden wir die allgemeine Form (Polynomform) f(x) = ax^2 + bx + c als Ansatz.
Jeder der drei Punkte muss “die Gleichung erfüllen”. Für die Koordinaten von A(-1|1) bedeutet das:
f(-1) = 1 = a (-1)^2 + b (-1) + c = a – b + c = 1
Indem wir diese Gleichung für alle Punkte durchführen, erhalten wir ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten:
f(-1) = 1: a – b + c = 1
f(3) = -1: 9a + 3b + c = -1
f(5) = 7: 25a + 5b + c = 7
Um das Gleichungssystem zu lösen, eliminieren wir nacheinander die Unbekannten. Wir beginnen mit c und subtrahieren Gleichung 1 von Gleichung 2:
9a + 3b + c – (a – b + c) = -1 – 1
8a + 4b = -2
Nun verwenden wir Gleichung 3 und subtrahieren entweder Gleichung 1 oder Gleichung 2:
25a + 5b + c – (a – b + c) = 7 – 1
24a + 4b = 6
Mit dem Additionsverfahren können wir die Gleichungen 2 und 3 lösen:
8a + 4b = -2
24a + 4b = 6
Indem wir Gleichung 1 von Gleichung 2 subtrahieren, erhalten wir:
16a = 8
a = 0,5
Den Wert für a setzen wir in eine der Gleichungen ein, um b zu berechnen:
8 * 0,5 + 4b = -2
4 + 4b = -2
4b = -6
b = -1,5
Schließlich setzen wir a und b in eine der Gleichungen ein, um c zu berechnen:
0,5 (-1)^2 + (-1,5) (-1) + c = 1
0,5 + 1,5 + c = 1
c = -1
Die gesuchte Funktion hat die Gleichung f(x) = 0,5x^2 – x – 1.
Beispiel 2: Gesucht ist die Gleichung der Parabel durch die Punkte A(-4/3, -7/3), B(4/3, 3) und C(2, 1).
Lösung: Wir stellen wieder das Gleichungssystem auf und eliminieren c, indem wir die Differenzen von zwei Gleichungen bilden:
f(-4/3) = -7/3: (16/9)a – (4/3)b + c = -7/3
f(4/3) = 3: (16/9)a + (4/3)b + c = 3
f(2) = 1: 4a + 2b + c = 1
f(2) – f(-4/3): 20/9a + 2/3b = -2
In diesem Fall fällt bei Gleichung 4 auch a heraus. Das passiert immer, wenn sich bei zwei Punkten die x-Koordinaten nur im Vorzeichen unterscheiden. Daher können wir die Unbekannten sofort berechnen:
2/3b = -2
b = -3
20/9a + 2/3 * (-3) = -2
20/9a – 2 = -2
20/9a = 0
a = 0
Jetzt können wir a und b in eine der Gleichungen einsetzen, um c zu berechnen:
4 0 + 2 (-3) + c = 1
c = 3
Die gesuchte Gleichung ist f(x) = -3x^2 + 2x + 3.
Parabel oder nicht?
Wie Sie in der Grafik sehen können, legen drei (unterschiedliche) Punkte nicht immer eine Parabel fest. Eine Parabel kann nur gebildet werden, wenn bei zwei Punkten die x-Koordinaten übereinstimmen, aber die y-Koordinaten nicht. Ansonsten ist kein Funktionsgraph möglich.
Beispiel 3: Untersuchen Sie, ob die Punkte A(-2|-2), B(4|3) und C(16|13) auf einer Parabel oder einer Geraden liegen, und geben Sie die entsprechende Funktionsgleichung an.
Lösungsweg 1: Wir überprüfen zuerst, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Das ist der Fall, wenn die Steigung der Geraden (AB) mit der Steigung der Geraden (AC) übereinstimmt.
m(AB) = (3 – (-2))/(4 – (-2)) = 5/6
m(AC) = (13 – (-2))/(16 – (-2)) = 5/6
Da m(AB) = m(AC) ist, liegen die Punkte auf einer Geraden. Die Gleichung der Geraden kann mithilfe der Normalform f(x) = mx + n (oder der Punkte-Steigungsform f(x) = m(x – x1) + y1) gefunden werden. Als Punkt können wir einen der drei Punkte wählen, zum Beispiel B(4/3):
f(x) = (5/6)x + n
3 = (5/6)*4 + n
3 = 20/6 + n
n = -1/3
Die Gleichung lautet f(x) = (5/6)x – 1/3.
Lösungsweg 2: Wir nehmen an, dass die Punkte auf einer quadratischen Funktion f(x) = ax^2 + bx + c liegen und gehen wie oben vor.
f(-2) = -2: 4a – 2b + c = -2
f(4) = 3: 16a + 4b + c = 3
f(16) = 13: 256a + 16b + c = 13
f(4) – f(-2): 12a + 6b = 5
f(16) – f(4): 240a + 12b = 10
In diesem Fall fällt bei Gleichung 4 auch a heraus. Das passiert immer, wenn sich bei zwei Punkten die x-Koordinaten nur im Vorzeichen unterscheiden. Daher können wir die Unbekannten sofort berechnen:
6b = 5
b = 5/6
240a + 12 * (5/6) = 10
240a + 10 = 10
240a = 0
a = 0
Wir setzen a und b in eine der Gleichungen ein, um c zu berechnen:
4 0 – 2 (5/6) + c = -2
-10/6 + c = -2
c = -1/3
Die Gleichung lautet f(x) = (5/6)x – 1/3.
Welcher Lösungsweg ist besser? Das hängt von der spezifischen Aufgabe ab. Wenn Sie nachweisen sollen, dass drei Punkte nicht auf einer Parabel liegen, ist der erste Weg vorzuziehen. Wenn Sie jedoch nicht nur überprüfen müssen, ob drei Punkte eine Parabel festlegen, sondern auch die Gleichung angeben sollen, ist oft der zweite Weg schneller.
Übungsaufgaben
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
