Einleitung:
Lineare Systeme sind allgegenwärtig und werden oft zur Erfassung von Daten verwendet. Doch wie beschreibt man sie mathematisch? Hier kommen Faltung, Korrelation und Filterung ins Spiel. In diesem Artikel werden wir uns mit diesen Konzepten genauer befassen. Also schnappt euch eure besten Freundinnen und lasst uns eintauchen!
Bearbeiten von Wellenformen
Lineare Systeme sind dafür da, Informationen aus digitalen Daten zu extrahieren. Wie genau machen wir das? Durch Faltung, Korrelation und Filterung. Das Kernkonzept hierbei ist die Reaktion eines Systems auf einen Impuls. Lasst uns uns das genauer ansehen.
Beispiel: Impuls-Antwort eines Seismometers
Um zu verstehen, wie ein Seismometer funktioniert, werfen wir einen Blick auf die Impuls-Antwort. Was passiert, wenn ein Impuls auf ein Federungssystem trifft?
Die Konvolutionsfunktion
Konvolution ist die mathematische Beschreibung der Veränderung eines Eingangssignals nach dem Durchlaufen eines Filters. Hierfür gibt es ein spezielles mathematisches Symbol: y(t) = g(t) * f(t). Das Eingangssignal wird also mit der Impuls-Antwortfunktion gefaltet. Lasst uns uns das genauer ansehen.
Faltung Beispiel (Matlab)
In Matlab können wir die Faltung leicht visualisieren. Das Eingangssignal wird mit der Impuls-Antwort gefaltet, und wir erhalten das Ausgabesignal.
Konvolutionsmodell: Seismogramme
Ein Seismogramm, das die Schichten eines Mediums darstellt, kann ebenfalls mit einem Konvolutionsmodell berechnet werden. Hierfür verwenden wir die Quellfunktion, die Reflektivität und das Rauschen.
Dekonvolution
Dekonvolution ist die Umkehrung der Konvolution. Wann ist eine Dekonvolution nützlich? Wir schauen uns das genauer an.
Der Faltungssatz (Convolution theorem)
Der Faltungssatz besagt, dass eine Faltung im Zeitbereich einer Multiplikation im Frequenzbereich entspricht. Dieser Satz ist in der Zeitreihenanalyse von großer Bedeutung.
Korrelation
Die Korrelation spielt eine zentrale Rolle bei der Analyse von Zeitreihen. Sie gibt Auskunft über die Ähnlichkeit von Funktionen und den zeitlichen Versatz zwischen ihnen. Wie genau funktioniert die Korrelation? Schauen wir uns das an.
Beispiel (Matlab)
In Matlab können wir die Korrelation leicht berechnen. Wir geben zwei Vektoren ein und erhalten den Korrelationskoeffizienten.
Auto-Korrelation und Kreuz-Korrelation
Bei der Autokorrelation ist das Maximum bei perfekter Übereinstimmung. Die Kreuzkorrelation zeigt den zeitlichen Versatz zwischen zwei Funktionen.
Der Korrelationskoeffizient
Der Korrelationskoeffizient ist eine Zahl zwischen -1 und 1, die die Ähnlichkeit zwischen zwei Funktionen beschreibt. Er kann uns Hinweise auf kausale Zusammenhänge geben.
Digitales Filtern
Oftmals enthalten aufgezeichnete Signale eine Fülle von Informationen, die für uns nicht relevant sind. Um das Rauschen zu reduzieren, wenden wir Filter im Frequenzraum an.
Zusammenfassung
Die Spektralanalyse ist die Grundlage für die Dateninterpretation in der Seismologie. Faltung, Korrelation und Filterung spielen dabei eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es uns, Signale zu analysieren, Ähnlichkeiten zu untersuchen und relevante Informationen herauszufiltern.
Lasst uns die aufregende Welt der Faltung, Korrelation und Filterung erkunden und dabei unsere seismologischen Geheimnisse enthüllen!
