Widerstände clever kombinieren für optimale Leistung
Widerstände sind unverzichtbar, um Bauteile vor zu hoher Spannung zu schützen. Wenn beispielsweise die Nennspannung einer Leuchtdiode bei 3 V liegt, würde sie bei direktem Anschluss an eine 9 V-Batterie zerstört werden.
Angenommen, die Nennstromstärke der Leuchtdiode beträgt 48 mA. Dann lässt sich der Vorwiderstand wie folgt berechnen:
[ R = frac{U}{I} = frac{9 V – 6 V}{0,048 A} = 125 Omega ]Das Problem: Es gibt keinen 125 Ω-Widerstand zu kaufen. Nirgends. Kein Hersteller weltweit produziert einen solchen Widerstand.
Verwendet man einen kleineren Widerstand als 125 Ω, besteht die Gefahr, dass die LED trotzdem zerstört wird. Verwendet man einen größeren Widerstand, kann es sein, dass die LED nicht ausreichend hell leuchtet.
Um das Problem zu lösen und die LED optimal zu betreiben, liegt es nahe, die Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen genauer zu untersuchen.
Reihenschaltung von Widerständen
Experimentelle Untersuchung der Reihenschaltung von Widerständen
Die experimentelle Untersuchung der Reihenschaltung von Widerständen gestaltet sich einfach: Wir schalten beliebig viele Widerstände in Reihe und messen mithilfe eines Multimeters den Gesamtwiderstand der Schaltung. Um es einfacher zu halten, untersuchen wir zunächst die Reihenschaltung mehrerer gleicher Widerstände (100 Ω) und erst danach zwei verschieden große Widerstände.
Man erkennt leicht einen Zusammenhang: Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist gleich der Summe der Einzelwiderstände oder als Formel geschrieben: [ R_{ges}=R_1+R2 ]. Dies gilt auch für mehrere Widerstände [ R{ges}=R_1+R_2+R_3+dots ]. Der Gesamtwiderstand einer Schaltung steigt also, wenn ein weiterer Widerstand in Reihe geschaltet wird.
Theoretische Herleitung einer Formel für die Reihenschaltung von Widerständen
Um die theoretische Herleitung der Formel für die Reihenschaltung von Widerständen zu verstehen, benötigen wir folgendes Vorwissen:
- Spannung in einer Reihenschaltung: Die Gesamtspannung [ U_{ges} ] ergibt sich aus der Summe der Teilspannungen [ U_1 ] und [ U_2 ].
- Stromstärke in einer Reihenschaltung: Die Stromstärke ist überall gleich, [ I_{ges}=I_1=I_2 ].
- Definition des elektrischen Widerstands: [ R=frac{U}{I} ].
Daraus ergibt sich die Formel für die Reihenschaltung von Widerständen:
[ R_{ges} = R_1 + R_2 ]Parallelschaltung von Widerständen
Experimentelle Untersuchung der Parallelschaltung von Widerständen
Auch bei der experimentellen Untersuchung der Parallelschaltung von Widerständen können wir mit einem Multimeter arbeiten. Wir konzentrieren uns hier auf die Untersuchung gleicher Widerstände (100 Ω), da der Zusammenhang bei verschieden großen Widerständen komplexer ist und nicht unmittelbar aus den Messwerten abgeleitet werden kann. Hier hilft uns später die theoretische Herleitung.
Wir erkennen, dass der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung gleich großer Widerstände dadurch ermittelt wird, dass man die Größe eines einzelnen Widerstands durch die Anzahl der Widerstände teilt.
Für verschieden große Widerstände benötigen wir die theoretische Herleitung:
Theoretische Herleitung einer Formel für die Parallelschaltung von Widerständen
Auch hier benötigen wir Vorwissen:
- Stromstärke in einer Parallelschaltung: Die Gesamtstromstärke [ I_{ges} ] ergibt sich aus der Summe der Teilstromstärken [ I_1 ] und [ I_2 ].
- Spannung in einer Parallelschaltung: Die Spannung ist überall gleich, [ U_{ges}=U_1=U_2 ].
- Definition des elektrischen Widerstands: [ R=frac{U}{I} ].
Daraus ergibt sich die Formel für die Parallelschaltung von Widerständen:
[ frac{1}{R_{ges}} = frac{1}{R_1} + frac{1}{R_2} ]Analog kann man sich überlegen, dass für mehrere Widerstände gilt:
[ frac{1}{R_{ges}} = frac{1}{R_1} + frac{1}{R_2} + frac{1}{R_3} + dots ]Zusammenfassung
Durch geschickte Kombination existierender Widerstände können alle Widerstände ersetzt werden. Aus diesem Grund spricht man auch manchmal von Gesamtwiderständen statt von einzelnen Widerständen.
Beispiele
Beispiel zur Reihenschaltung von Widerständen
Der Gesamtwiderstand dieser Schaltung beträgt [ R_{ges}=R_1+R_2+R_3=500 Ω+50 Ω+100 Ω= 650 Ω ].
Beispiel zur Parallelschaltung von Widerständen
Der Gesamtwiderstand dieser Schaltung berechnet sich wie folgt:
Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung beträgt also 31,25 Ω.
Beispiel für eine Kombination aus Reihen- und Parallelschaltung
Um den Gesamt- bzw. Ersatzwiderstand einer Kombination von Reihen- und Parallelschaltung zu bestimmen, arbeitet man sich von innen nach außen vor. Man berechnet zunächst den Ersatzwiderstand der kleinsten Reihen- bzw. Parallelschaltung. Im obigen Beispiel betrachten wir zunächst die Parallelschaltung der beiden 50 Ω-Widerstände und arbeiten uns dann nach außen vor. Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung beträgt 25 Ω. Nun müssen noch die 100 Ω, die in Reihe geschaltet werden, berücksichtigt werden.
Der Gesamtwiderstand der Schaltung beträgt also 125 Ω. Die dargestellte Kombination aus 100 Ω und 50 Ω-Widerständen ist eine mögliche Lösung des Problems.
Applet zur Berechnung des Gesamtwiderstands in einer Parallelschaltung
Um die Berechnung des Gesamtwiderstands in einer Parallelschaltung zu erleichtern, stellen wir ein Applet vor. Mit diesem Applet können automatisch der Gesamtwiderstand von zwei, drei und vier Widerständen in einer Parallelschaltung berechnet werden.
