Die Welt der Mathematik kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Aber keine Sorge, wir haben hier einen kleinen Guide für dich, der dir die Konzepte der Sekante, Tangente und Normale verständlich erklärt.
Sekantengleichung aufstellen
Die Sekante ist eine Gerade, die eine Funktion $f(x)$ in zwei Punkten schneidet. Die Steigung der Sekante gibt uns Auskunft über die durchschnittliche Änderung der Funktion zwischen den beiden Schnittpunkten $P_1$ und $P_2$.
Um die Sekantengleichung aufzustellen, gehen wir folgendermaßen vor:
- Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+b$ – Wir suchen also die Werte für $m$ und $b$!
- Für $m$: Berechne die Steigung durch die beiden Punkte $m=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
- Für $b$: Setze die Steigung $m$ und einen der beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein.
Hier ein Beispiel:
Die Funktion lautet $f(x)=3x^2+1$. Die beiden Punkte sind $P_1(-1|f(-1))$ und $P_2(2|f(2))$.
Für die Berechnung der Sekantengleichung ergibt sich:
[
m = frac{(3cdot 2^2+1)-(3cdot 1^2+1)}{2-(-1)} = frac{9}{3} = 3
]
und
[
13 = 3 cdot 2 + b implies b = 7
]
Die gesuchte Sekantengleichung lautet also $y=3x+7$.
Tangentengleichung aufstellen
Die Tangente berührt eine Funktion $f(x)$ in einem Punkt $P0$. Die Steigung der Tangente $m{tan}$ beschreibt die Änderung der Funktion an diesem Punkt.
Um die Tangentengleichung aufzustellen, gehen wir folgendermaßen vor:
- Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+b$ – Wir suchen also die Werte für $m$ und $b$!
- Bestimme die Ableitung der Funktion $f'(x)$.
- Setze den $x$-Wert des Punktes $P_0$ in $f(x)$ ein, um den $y$-Wert zu erhalten.
- Setze den $x$-Wert des Punktes $P_0$ in $f'(x)$ ein, um die Steigung $m$ zu berechnen.
- Setze die Steigung $m$ und den $y$-Wert in die allgemeine Geradengleichung ein.
Ein Beispiel:
Die Funktion lautet $f(x)=3x^2+1$. Der Punkt ist $P(1|f(1))$.
Für die Berechnung der Tangentengleichung ergibt sich:
[
m = f'(1) = 6
]
[
f(1) = 3 cdot 1^2 + 1 = 4
]
und
[
4 = 6 cdot 1 + b implies b = -2
]
Die gesuchte Tangentengleichung lautet also $y=6x-2$.
Normale, Senkrechte bzw. Orthogonale
Die Ableitung einer Funktion $f(x)$ an einem Punkt $P_0$ entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Die Normale verläuft senkrecht zur Tangente und hat die negative Kehrwert der Tangentensteigung.
Die Steigung der Tangente wird durch $m_{tan} = f'(x0)$ bestimmt. Die Steigung der Normale lautet demnach $m{norm} = -frac{1}{f'(x_0)}$.
Ein Beispiel:
Die Funktion lautet $f(x)=3x^2+1$. Der Punkt ist $P(1|f(1))$.
Für die Berechnung der Normalengleichung ergibt sich:
[
m{tan} = f'(1) = 6
]
und somit
[
m{norm} = -frac{1}{6}
]
Um $b$ zu berechnen, setzen wir $m_{norm}$ und den Punkt $P(1|4)$ in die Geradengleichung ein.
Die gesuchte Normalengleichung lautet also $y=-frac{1}{6}x+frac{25}{6}$.
Das war’s! Jetzt kennst du die grundlegenden Konzepte von Sekante, Tangente und Normale. Viel Spaß beim Anwenden und Vertiefen deines Wissens!
