In dieser Lerneinheit werden wir uns anschauen, wie du den Nenner rational machen kannst. Dabei geht es um Brüche, bei denen der Nenner eine Wurzel (eine irrationale Zahl) enthält und wir diese Wurzel entfernen möchten.
Nenner rational machen – Überblick
Der Nenner eines Bruchs mit einer Wurzel darin ist irrational. Unser Ziel ist es, den Nenner rational zu machen, indem anstelle der irrationalen Zahl eine rationale Zahl steht. Um dieses Ziel zu erreichen, benötigst du bereits erlernte Vorkenntnisse wie das Erweitern und Kürzen von Brüchen sowie die binomische Formel.
Wir werden uns drei verschiedene Fälle anschauen:
- Quadratwurzel im Nenner entfernen.
- Höhere Wurzel im Nenner entfernen.
- Summe/Differenz von Wurzeln im Nenner entfernen.
Nenner rational machen: Quadratwurzeln
Wenn der Nenner eines Bruchs eine Quadratwurzel enthält, kannst du die Wurzel aus dem Nenner entfernen, indem du den Bruch erweiterst und dann die Wurzelgesetze anwendest.
Nenner rational machen: Höhere Wurzeln
Wenn der Nenner eines Bruchs eine Wurzel mit einem höheren Wurzelgrad enthält, musst du den Bruch erweitern und dann das Wurzelgesetz des Potenzierens anwenden, um die Wurzel in den Zähler zu bringen. Anschließend kannst du die Wurzelgesetze der Multiplikation anwenden, um den Nenner rational zu machen.
Nenner rational machen: Summen/Differenzen
Um den Nenner eines Bruchs mit einer Summe oder Differenz zu rationalisieren, benötigst du die 3. binomische Formel. Für Summen wird die Differenz und für Differenzen wird die Summe verwendet.
Im Nenner kannst du dann die Wurzelgesetze anwenden, um den Nenner rational zu machen.
Dies waren nur kurze Zusammenfassungen der einzelnen Fälle. Um sie besser zu verstehen und die Anwendung in Beispielen zu sehen, empfehle ich dir, die dazugehörigen Videoclips anzuschauen.
Viel Spaß beim Lernen!
Videoclip 1: Nenner rational machen (Quadratwurzel)
Im folgenden Video zeigen wir dir, wie du einen Nenner mit Quadratwurzel rational machen kannst.
Nenner rational machen: Höhere Wurzeln
Wenn der Nenner eines Bruchs eine Wurzel mit einem höheren Wurzelgrad enthält, kannst du den Nenner rational machen, indem du den Bruch erweiterst und dann das Wurzelgesetz des Potenzierens anwendest. Anschließend kannst du die Wurzelgesetze der Multiplikation verwenden.
Videoclip 2: Nenner rational machen (höhere Wurzel)
Im folgenden Video zeigen wir dir, wie du einen Nenner rational machen kannst, wenn eine höhere Wurzel im Nenner gegeben ist.
Nenner rational machen: Summen/Differenzen
Wenn der Nenner eines Bruchs eine Summe oder Differenz mit zwei Gliedern enthält, von denen mindestens eines eine Wurzel ist, benötigst du die 3. binomische Formel, um den Nenner rational zu machen.
Summen im Nenner
Wenn im Nenner eine Summe enthalten ist, erweiterst du den Bruch mit dem Nenner und änderst das Pluszeichen in ein Minuszeichen. Anschließend wendest du die 3. binomische Formel an und das Wurzelgesetz des Potenzierens.
Differenzen im Nenner
Wenn im Nenner eine Differenz enthalten ist, erweiterst du den Bruch mit dem Nenner und änderst das Minuszeichen in ein Pluszeichen. Anschließend wendest du die 3. binomische Formel an und das Wurzelgesetz des Potenzierens.
In beiden Fällen kannst du die Wurzelgesetze der Multiplikation anwenden, um den Nenner rational zu machen.
Das waren nur kurze Zusammenfassungen der einzelnen Fälle. Um sie besser zu verstehen und die Anwendung in Beispielen zu sehen, empfehle ich dir, die dazugehörigen Videoclips anzuschauen.
Mit diesen Techniken kannst du den Nenner rational machen und Brüche mit Wurzeln vereinfachen.
Viel Erfolg beim Lernen!
